08. Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες

Συγγραφέας

ΤΑΣΟΣ ΑΡΒΑΝΙΤΗΣ

Δημοσιευμένο

23 Μάρτιος 2026

Τροποποιημένο

15 Οκτώβριος 2026

1 Παραπληρωματικές και Συμπληρωματικές γωνίες – Κατακορυφήν γωνίες

1.1 Συμπληρωματικές και Παραπληρωματικές Γωνίες (Ορισμοί)

1.1.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Συμπληρωματικές γωνίες: Δύο γωνίες ονομάζονται συμπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι μία ορθή γωνία (90° ή 100 gr). Κάθε μία ονομάζεται συμπλήρωμα της άλλης.

Αλλάξτε την θέση του σημείου Δ

  • Παραπληρωματικές γωνίες: Δύο γωνίες ονομάζονται παραπληρωματικές όταν το άθροισμά τους είναι μία ευθεία ή πεπλατυσμένη γωνία (180° ή 200 gr). Κάθε μία ονομάζεται παραπλήρωμα της άλλης.

  • Διχοτόμοι: Οι διχοτόμοι δύο εφεξής και παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετες μεταξύ τους, σχηματίζοντας γωνία \(90^\circ\).

  • Επίσης, οι διχοτόμοι δύο οποιωνδήποτε εφεξής γωνιών σχηματίζουν γωνία ίση με το ημιάθροισμα των γωνιών αυτών. ( κάντε το σαν εργασία)

  • Ιδιότητα: Τα συμπληρώματα της ίδιας ή ίσων γωνιών είναι γωνίες ίσες. Ομοίως, τα παραπληρώματα της ίδιας ή ίσων γωνιών είναι γωνίες ίσες.

1.1.2 Παραδείγματα

  1. Οι γωνίες 30° και 60° είναι συμπληρωματικές (30° + 60° = 90°).

  2. Οι γωνίες 60° και 120° είναι παραπληρωματικές (60° + 120° = 180°).

  3. Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο, οι δύο οξείες γωνίες είναι πάντα συμπληρωματικές.

Η μία είναι ορθή, άρα οι άλλες δύο οξείες θα έχουν άθροισμα \(90^ο\)

  1. Το παραπλήρωμα μιας ορθής γωνίας είναι μια ορθή γωνία.

  2. Δύο γωνίες 45° είναι συμπληρωματικές και ίσες.

1.1.3 Ασκήσεις

  1. Βρείτε νοερά το συμπλήρωμα των γωνιών: 15°, 45°, 75°.

  2. Βρείτε νοερά το παραπλήρωμα των γωνιών: 30°, 120°, 150°.

  3. Αν μια γωνία είναι 36°, υπολογίστε τη συμπληρωματική της.

  4. Αν μια γωνία είναι 36°, υπολογίστε την παραπληρωματική της.

  5. Υπάρχει αμβλεία γωνία που να έχει συμπλήρωμα; Γιατί;.

  6. Δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές και ίσες. Τι είδους γωνίες είναι;.

  7. Βρείτε το συμπλήρωμα της γωνίας \(52^ο \ 84'\).

  8. Βρείτε το παραπλήρωμα της γωνίας \(114° 35' 23''\).

  9. Αν το άθροισμα δύο γωνιών είναι 150°, είναι παραπληρωματικές;

  10. Μία γωνία είναι το \(\dfrac{1}{3}\) της συμπληρωματικής της. Πόσες μοίρες είναι;

\(\dfrac{1}{3}x+x=90^o\) ………………………….

  1. Εκφώνηση

Μια γωνία είναι μικρότερη από την παραπληρωματική της κατά \(30^\circ\). Να βρεθούν οι γωνίες και να γίνει σχήμα αν οι γωνίες είναι εφεξής.

(Απάντηση: \(75^\circ, 105^\circ\))

Λύση

Έστω \(x\) η ζητούμενη γωνία και \(y\) η παραπληρωματική της.

Βήμα 1: Διατύπωση των εξισώσεων

  • Από τον ορισμό των παραπληρωματικών γωνιών, το άθρωσμά τους είναι \(180^\circ\):

\[x + y = 180^\circ \quad (1)\]

  • Από την υπόθεση, η γωνία \(x\) είναι μικρότερη από την \(y\) κατά \(30^\circ\): \[x = y - 30^\circ \quad (2)\]

Βήμα 2: αντικατάσταση Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στην εξίσωση (1):

\[(y - 30^\circ) + y = 180^\circ \Rightarrow 2y - 30^\circ = 180^\circ\] \[2y = 180^\circ + 30^\circ \Rightarrow 2y = 210^\circ \Rightarrow y = 105^\circ\]

Τώρα βρίσκουμε τη γωνία \(x\) από τη σχέση (2): \[x = 105^\circ - 30^\circ \Rightarrow x = 75^\circ\]

Συμπέρασμα Οι ζητούμενες γωνίες είναι \(75^\circ\) και \(105^\circ\).

  1. Εκφώνηση

Μια γωνία είναι πενταπλάσια της συμπληρωματικής της. Να βρεθούν οι γωνίες και να γίνει σχήμα αν οι γωνίες είναι εφεξής.

(Απάντηση: \(75^\circ, 15^\circ\))

Λύση

Έστω \(\omega\) η ζητούμενη γωνία και \(\phi\) η συμπληρωματική της.

Βήμα 1: Διατύπωση των εξισώσεων

  • Από τον ορισμό των συμπληρωματικών γωνιών, το άθροισμά τους είναι \(90^\circ\):

\[\omega + \phi = 90^\circ \quad (1)\]

  • Από την υπόθεση, η γωνία \(\omega\) είναι πενταπλάσια της \(\phi\):

\[\omega = 5\phi \quad (2)\]

Βήμα 2: αντικατάσταση Αντικαθιστούμε τη σχέση (2) στην εξίσωση (1):

\[5\phi + \phi = 90^\circ \Rightarrow 6\phi = 90^\circ \Rightarrow \phi = \frac{90^\circ}{6} \Rightarrow \phi = 15^\circ\]

Τώρα βρίσκουμε τη γωνία \(\omega\) από τη σχέση (2): \[\omega = 5 \cdot 15^\circ \Rightarrow \omega = 75^\circ\]

Συμπέρασμα Οι ζητούμενες γωνίες είναι \(75^\circ\) (η αρχική) και \(15^\circ\) (η συμπληρωματική της).

  1. Να υπολογίσετε τις γωνίες \(\hatφ\) και \(\hat θ\) στο παρακάτω σχήμα.

  1. Να υπολογίσετε τις γωνίες \(\hat α\), \(\hat β\) και \(\hat γ\) στο παρακάτω σχήμα.

1.2 Εφεξής Παραπληρωματικές και Αντικείμενες Ημιευθείες

1.2.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Ιδιότητα: Αν δύο εφεξής γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους αντικείμενες (αντίθετες) ημιευθείες, τότε το άθροισμά τους είναι μια ευθεία γωνία (180°), άρα οι γωνίες είναι παραπληρωματικές.

  • Αντίστροφο: Αν δύο εφεξής γωνίες είναι παραπληρωματικές, τότε οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες (βρίσκονται πάνω στον ίδιο φορέα).

Παραδείγματα

  1. Μια ευθεία \(xy\) και μια ημιευθεία \(Oz\), με το Ο να ανήκει στην \(xy\), ορίζουν δύο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες.

  2. Αν οι δείκτες του ρολογιού δείχνουν 6:00, σχηματίζουν ευθεία γωνία που μπορεί να χωριστεί σε δύο παραπληρωματικές.

  3. Σχεδίαση δύο εφεξής γωνιών 105° και 75° οι οποίες σχηματίζουν ευθεία.

  4. Δύο ορθές γωνίες τοποθετημένες εφεξής έχουν τις μη κοινές πλευρές τους στην ίδια ευθεία.

  5. Η διχοτόμος μιας ευθείας γωνίας δημιουργεί δύο εφεξής παραπληρωματικές γωνίες (ορθές).

1.2.2 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε μια ευθεία \(xy\) και από ένα σημείο \(O\) φέρτε ημιευθεία \(Oz\). Ονομάστε τις παραπληρωματικές γωνίες.

  2. Δύο εφεξής γωνίες είναι 125° και 55°. Εξετάστε αν οι μη κοινές πλευρές τους είναι αντικείμενες ημιευθείες.

  3. Σχεδιάστε τις διχοτόμους δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών και μετρήστε τη γωνία που σχηματίζουν.

  4. Αν δύο εφεξής γωνίες έχουν μέτρα 1,35 ορθής και 58° 30’, ποια είναι η θέση των μη κοινών πλευρών τους;

\(1,35\times 90^o=121,5^o\) δηλαδή \(121^ο \ 30'\) ………………………..

  1. Δείξτε με σχήμα ότι οι διχοτόμοι δύο εφεξής παραπληρωματικών γωνιών είναι κάθετοι μεταξύ τους.

  2. Πάρτε τρεις διαδοχικές γωνίες που οι ακραίες πλευρές τους είναι αντίθετες. Αν οι δύο πρώτες είναι 28° και 72°, βρείτε την τρίτη.

  3. Σε μια ευθεία \(xy\) σχεδιάστε στο ίδιο ημιεπίπεδο 4 διαδοχικές γωνίες. Ποιο είναι το άθροισμά τους;

  4. Αν δύο εφεξής γωνίες είναι παραπληρωματικές, μπορεί και οι δύο να είναι οξείες;

  5. Σχεδιάστε μια αμβλεία γωνία και το παραπλήρωμά της ως εφεξής.

  6. Επαληθεύστε με δίπλωση χαρτιού ότι η διχοτόμος μιας ευθείας γωνίας την χωρίζει σε δύο ορθές.

1.3 Εφεξής Συμπληρωματικές και Κάθετες Ημιευθείες

1.3.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Ιδιότητα: Αν δύο εφεξής γωνίες έχουν τις μη κοινές πλευρές τους κάθετες ημιευθείες, τότε το άθροισμά τους είναι μία ορθή γωνία (90°), άρα οι γωνίες είναι συμπληρωματικές.

  • Αντίστροφο: Αν δύο εφεξής γωνίες είναι συμπληρωματικές, τότε οι μη κοινές πλευρές τους είναι κάθετες ημιευθείες.

1.3.2 Παραδείγματα

  1. Μια ορθή γωνία \(xOy\) και μια ημιευθεία \(Oz\) στο εσωτερικό της ορίζουν δύο συμπληρωματικές γωνίες.

  2. Οι γωνίες 28° και 62° τοποθετημένες εφεξής σχηματίζουν ορθή γωνία.

  3. Στις 3:00 οι δείκτες του ρολογιού είναι κάθετοι· αν φέρουμε μια ημιευθεία ανάμεσά τους, έχουμε συμπληρωματικές γωνίες.

  4. Οι πλευρές ενός τετραγώνου είναι κάθετες και ορίζουν συμπληρωματικές γωνίες αν χωριστούν από τη διαγώνιο.

  5. Δύο γωνίες 45° εφεξής σχηματίζουν ορθή γωνία.

1.3.3 Ασκήσεις

  1. Σχεδιάστε δύο κάθετες ημιευθείες \(Ox\) και \(Oy\) και μια ημιευθεία \(Oz\) στο εσωτερικό τους. Πώς λέγονται οι γωνίες \(xOz\) και \(zOy\);.

  2. Χρησιμοποιώντας γνώμονα, σχεδιάστε τη συμπληρωματική γωνία μιας οξείας γωνίας.

  3. Αν δύο εφεξής γωνίες είναι 25° και 65°, τι σχέση έχουν οι μη κοινές πλευρές τους;.

  4. Σχεδιάστε μια ορθή γωνία και χωρίστε την σε τρία ίσα μέρη με το διαβήτη. Πόσες μοίρες είναι κάθε μέρος;.

  5. Δύο εφεξής γωνίες έχουν μέτρα 54° και \(\dfrac{2}{5}^L\). Είναι οι μη κοινές πλευρές τους κάθετες;

  6. Αν μια γωνία είναι 0,375 της ορθής, υπολογίστε το συμπλήρωμά της.

  7. Σχεδιάστε δύο εφεξής γωνίες που είναι συμπληρωματικές. Τι γωνία σχηματίζουν οι διχοτόμοι τους;

  8. Μπορούν δύο αμβλείες γωνίες να είναι συμπληρωματικές;

  9. Σχεδιάστε μια οξεία γωνία και το συμπλήρωμά της ως μη εφεξής.

  10. Αν το άθροισμα δύο εφεξής γωνιών είναι 90°, δείξτε με τον γνώμονα ότι οι εξωτερικές πλευρές είναι κάθετες.

1.4 Υπολογισμός και Σχεδίαση Συμπληρώματος και Παραπληρώματος

1.4.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Υπολογισμός: Για να βρούμε το συμπλήρωμα μιας γωνίας \(\omega\), αφαιρούμε το μέτρο της από τις 90° (\(90^\circ - \omega\)). Για το παραπλήρωμα, αφαιρούμε από τις 180° (\(180^\circ - \omega\)).

  • Σχεδίαση: Γίνεται με τη χρήση μοιρογνωμονίου για τον προσδιορισμό των μοιρών ή με γνώμονα και χάρακα για τη δημιουργία ορθών και ευθείων γωνιών.

1.4.2 Παραδείγματα

  1. Συμπλήρωμα της 36°: \(90^\circ - 36^\circ = 54^\circ\).

  2. Παραπλήρωμα της 36°: \(180^\circ - 36^\circ = 144^\circ\).

  3. Σχεδίαση παραπληρωματικής γωνίας προεκτείνοντας την πλευρά μιας οξείας γωνίας.

  4. Σχεδίαση συμπληρωματικής γωνίας φέρνοντας κάθετη στην πλευρά μιας οξείας γωνίας.

  5. Υπολογισμός παραπληρώματος αθροίσματος: Αν \(A=23^\circ 45'\) και \(B=94^\circ 28'\), το παραπλήρωμα του \(A+B\) είναι \(180^\circ - 118^\circ 13' = 61^\circ 47'\).

1.4.3 Ασκήσεις

  1. Υπολογίστε το συμπλήρωμα της γωνίας 47° 52’ 43’’.

  2. Υπολογίστε το παραπλήρωμα της γωνίας 153° 28’ 47’’.

  3. Μία γωνία είναι 0,6 της ορθής. Υπολογίστε σε μοίρες το συμπλήρωμα και το παραπλήρωμά της.

  4. Σχεδιάστε μια γωνία 75° και κατασκευάστε το παραπλήρωμά της με χάρακα.

  5. Σχεδιάστε μια γωνία 40° και κατασκευάστε το συμπλήρωμά της με γνώμονα.

  6. Βρείτε το παραπλήρωμα του συμπληρώματος μιας γωνίας 30°.

  7. Ποιο είναι το παραπλήρωμα του διπλάσιου μιας γωνίας 0,3 της ορθής;.

  8. Μετρήστε μια τυχαία γωνία στο τετράδιό σας και υπολογίστε τα \(\dfrac{2}{3}\) του παραπληρώματός της.

  9. Σχεδιάστε δύο γωνίες 125° και 85° και βρείτε το παραπλήρωμα της διαφοράς τους.

1.5 Κατακορυφήν Γωνίες

1.5.1 Θεωρία – Ορισμοί – Ιδιότητες

  • Ορισμός: Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν (ή αντικόρυφες) όταν έχουν την ίδια κορυφή και οι πλευρές της μιας είναι αντίθετες ημιευθείες των πλευρών της άλλης.

  • Ιδιότητα: Οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

    • Αιτιολόγηση: Οι δύο κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες επειδή είναι και οι δύο παραπληρωματικές της ίδιας γωνίας (δηλαδή, μαζί με την ίδια μεσολαβούσα γωνία σχηματίζουν άθροισμα 180°).

  • Σχεδίαση: Δύο τεμνόμενες ευθείες σχηματίζουν τέσσερις γωνίες, οι οποίες ανά δύο απέναντι είναι κατακορυφήν.

Αλλάξτε την τιμή των γωνιών στο παρακάτω σχήμα, αλλάζοντας την θέση των σημείων Α και Β

  • Διχοτόμοι: Η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας είναι η διχοτόμος της κατακορυφήν της.

1.5.2 Παραδείγματα

  1. Δύο διασταυρούμενες ευθείες σχηματίζουν δύο ζεύγη ίσων κατακορυφήν γωνιών.

  2. Οι διαγώνιοι ενός παραλληλογράμμου σχηματίζουν κατακορυφήν γωνίες στο σημείο τομής τους.

  3. Η συμμετρική μιας γωνίας ως προς την κορυφή της είναι η κατακορυφήν της γωνία.

  4. Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντίθετες ημιευθείες.

  5. Οι διχοτόμοι των τεσσάρων γωνιών που σχηματίζουν δύο τεμνόμενες ευθείες αποτελούν δύο κάθετες ευθείες.

1.5.3 Ασκήσεις

  1. Χαράξτε δύο ευθείες που τέμνονται στο \(O\) και ονομάστε τα ζεύγη των κατακορυφήν γωνιών.

  2. Αν μία από τις γωνίες δύο τεμνόμενων ευθειών είναι 52°, βρείτε τα μέτρα των άλλων τριών.

  3. Σχεδιάστε μια γωνία \(xOy\) και κατασκευάστε την κατακορυφήν της χρησιμοποιώντας μόνο χάρακα.

  4. Αποδείξτε με μέτρηση ότι οι κατακορυφήν γωνίες είναι ίσες.

  5. Σχεδιάστε δύο κάθετες ευθείες. Τι παρατηρείτε για τις τέσσερις κατακορυφήν γωνίες;.

  6. Αν δύο κατακορυφήν γωνίες έχουν άθροισμα 140°, πόσες μοίρες είναι καθεμία;.

  7. Σχεδιάστε τις διχοτόμους δύο κατακορυφήν γωνιών. Τι είδους γωνία σχηματίζουν;.

  8. Βρείτε τις γωνίες που σχηματίζουν δύο παράλληλες ευθείες που τέμνονται από μια τρίτη και εντοπίστε τις κατακορυφήν.

  9. Αν μία γωνία είναι 73° 52’ 20’’, βρείτε την κατακορυφήν της.

  1. Εκφώνηση

Να σχηματίσετε δύο εφεξής γωνίες \(\widehat{xOy}\) και \(\widehat{yOz}\) με τιμές \(55^\circ\) και \(63^\circ\) αντίστοιχα. Έπειτα, να χαράξετε τις αντίθετες ημιευθείες των πλευρών τους και να υπολογίσετε τις τιμές όλων των οξειών γωνιών που σχηματίζονται.

(Απάντηση: \(55^\circ, 63^\circ, 62^\circ, 62^\circ\))

Λύση

Βήμα 1: Προσδιορισμός των αρχικών γωνιών Από την υπόθεση έχουμε δύο εφεξής γωνίες:

  • \(\widehat{xOy} = 55^\circ\)

  • \(\widehat{yOz} = 63^\circ\)

Η γωνία που σχηματίζουν οι εξωτερικές πλευρές τους είναι: \[\widehat{xOz} = \widehat{xOy} + \widehat{yOz} = 55^\circ + 63^\circ = 118^\circ\]

Βήμα 2: Χάραξη αντίθετων ημιευθειών Έστω \(Ox'\), \(Oy'\) και \(Oz'\) οι αντίθετες ημιευθείες των \(Ox\), \(Oy\) και \(Oz\) αντίστοιχα. Με τη χάραξη αυτή δημιουργούνται κατακορυφήν γωνίες, οι οποίες είναι ίσες: * \(\widehat{x'Oy'} = \widehat{xOy} = 55^\circ\) * \(\widehat{y'Oz'} = \widehat{yOz} = 63^\circ\)

Βήμα 3: Υπολογισμός των υπόλοιπων γωνιών Γνωρίζουμε ότι η γωνία \(\widehat{xOx'}\) είναι ευθεία (\(180^\circ\)).

Οι γωνίες που συμπληρώνουν το επίπεδο υπολογίζονται ως εξής: Η γωνία \(\widehat{zOy'}\) και η κατακορυφήν της \(\widehat{z'Oy}\) βρίσκονται στον ενδιάμεσο χώρο.

Παρατηρούμε ότι οι γωνίες \(\widehat{xOy}\), \(\widehat{yOz}\) και \(\widehat{zOx'}\) είναι παραπληρωματικές (άθροισμα \(180^\circ\) πάνω στην ευθεία \(xx'\)): \[55^\circ + 63^\circ + \widehat{zOx'} = 180^\circ\] \[118^\circ + \widehat{zOx'} = 180^\circ \Rightarrow \widehat{zOx'} = 180^\circ - 118^\circ = 62^\circ\]

Εφόσον η \(\widehat{zOx'}\) είναι \(62^\circ\), η κατακορυφήν της γωνία \(\widehat{z'Ox}\) θα είναι επίσης: \[\widehat{z'Ox} = 62^\circ\]

Συμπέρασμα Οι οξείες γωνίες που σχηματίζονται γύρω από την κορυφή \(O\) είναι:

  1. \(55^\circ\) (η αρχική και η κατακορυφήν της)

  2. \(63^\circ\) (η αρχική και η κατακορυφήν της)

  3. \(62^\circ\) (η γωνία \(\widehat{zOx'}\))

  4. \(62^\circ\) (η γωνία \(\widehat{xOz'}\))

Έτσι, οι τέσσερις διαφορετικές τιμές οξειών γωνιών (αν θεωρήσουμε τις βασικές περιοχές) είναι: \(55^\circ, 63^\circ, 62^\circ, 62^\circ\).

1.6 Ασκήσεις και Εφαρμογές

Άσκηση 1 (Υπολογισμός σε Τομή Ευθειών):

Δύο ευθείες \(x'x\) και \(y'y\) τέμνονται στο σημείο Ο. Αν η μία από τις τέσσερις γωνίες που σχηματίζονται είναι \(33^\circ\), να βρείτε τις υπόλοιπες τρεις γωνίες.

Λύση

  1. Η γωνία που είναι κατακορυφήν με την \(33^\circ\) θα είναι επίσης \(33^\circ\) (λόγω ισότητας).

  2. Η γωνία που είναι εφεξής και παραπληρωματική με την \(33^\circ\) θα είναι \(180^\circ - 33^\circ = \mathbf{147^\circ}\).

  3. Η τέταρτη γωνία, ως κατακορυφήν της παραπάνω, θα είναι επίσης \(147^\circ\).

Άσκηση 2 (Συμπλήρωση Κενών):

  1. Δύο γωνίες λέγονται κατακορυφήν αν έχουν την κορυφή τους …………… και τις πλευρές τους …………….

  2. Οι κατακορυφήν γωνίες είναι …………….

  • (Λύσεις: 1. κοινή, αντικείμενες ημιευθείες, 2. ίσες).

Άσκηση 3 (Σωστό/Λάθος):

  1. Οι κατακορυφήν γωνίες έχουν άθροισμα πάντα \(180^\circ\). (Λάθος, είναι ίσες, αλλά το άθροισμά τους εξαρτάται από το μέτρο τους).

  2. Οι διχοτόμοι δύο κατακορυφήν γωνιών είναι αντικείμενες ημιευθείες. (Σωστό).

  3. Δύο εφεξής γωνίες μπορεί να είναι και κατακορυφήν. (Λάθος).

  4. Η προέκταση της διχοτόμου μιας γωνίας διχοτομεί την κατακορυφήν της. (Σωστό).

Άσκηση 4 (Σύνθετη Εφαρμογή):

Έστω δύο ευθείες που τέμνονται και σχηματίζουν μια γωνία \(\alpha\) και μια γωνία \(\beta\).

Αν οι γωνίες \(\alpha\) και \(\beta\) είναι κατακορυφήν και το άθροισμά τους είναι \(110^\circ\), πόσες μοίρες είναι η καθεμία και πόσες μοίρες είναι οι άλλες δύο γωνίες της τομής;

Λύση

Εφόσον είναι κατακορυφήν, ισχύει \(\alpha = \beta\).

Άρα \(2\alpha = 110^\circ \Rightarrow \alpha = \beta = \mathbf{55^\circ}\).

Οι άλλες δύο γωνίες είναι παραπληρωματικές της \(\alpha\), άρα \(180^\circ - 55^\circ = \mathbf{125^\circ}\) η καθεμία.

Άσκηση 5 (Κατασκευή): Σχεδιάστε μια οξεία γωνία \(37^\circ\).

Στη συνέχεια, σχεδιάστε την κατακορυφήν της χρησιμοποιώντας μόνο τον χάρακα (προεκτείνοντας τις πλευρές της) και επιβεβαιώστε με το μοιρογνωμόνιο ότι είναι επίσης \(37^\circ\).

ΣημείωσηΣΑΣ ΕΥΧΟΜΑΙ

ΚΑΛΗ ΜΕΛΕΤΗ !!!